Δημοκρατία / πολιτεύματα

[Candiru]

κάθε κοινωνία έχει την δική της Αλήθεια, όμως αυτή στον χρόνο ποτέ δεν είναι η ίδια, μεταβάλλεται, με εισαγωγές νεωτερισμών είτε εξωτερικούς είτε εσωτερικούς.

Αν θυμάμαι καλά γινόταν συζήτηση για την προσπάθεια προσέγγισης της Αλήθειας και κατά πόσο αυτή είναι δυνατή, και έγινε παραλληλισμός φυσικών φαινομένων και κοινωνικών. Πχ αν υπάρχει μια αλήθεια για ένα φυσικό φαινόμενο, πχ μαύρη τρύπα, είναι τελείως άλλο πράγμα από το να αναζητάς μια αλήθεια για την κοινωνία, διότι η κάθε κοινωνική αλήθεια είναι κατασκευασμένη για την ίδια και με την δική της διαμεσολάβηση θα κρίνεις τα αλλότρια.

Αν η κοινωνία είναι ανοικτή (και σε αυτό την έχει ευνοήσει η δική της "Αλήθεια") θα δεχτεί και θα αφομοιώσει και άλλους τρόπους σκέψης, "αλήθειες", συνήθειες, κλπ, αν είναι κλειστή θα τους απορρίψει .

τα υπόλοιπα περι goedel, κλπ, έστω και με την κακή διατύπωση δεν έρχονται σε αντίθεση με τα παραπάνω, αποτελούν λογικές σκέψεις της δικής μας κουλτούρας που έχουν δοκιμαστεί με επιτυχία και σε πεδία έξω από αυτά της αρχικής διατύπωσής τους. Ο κοινωνικός σχετικισμός, η επίδραση του παρατηρητή στην μελέτη ενός κοινωνικού αντικειμένου, η μη πληρότητα στην έννοια της δημοκρατίας και αλλού είναι μερικά παραδείγματα. Μάλιστα δείχνουν από μόνα τους και την αδυναμία διατύπωσης της μιας Αλήθειας.

[Candiru]

Η Ευκλείδια Γεωμετρία είναι πλήρης, παραδείγματος χάριν

οφφ τοπικ αλλά τώρεα το πρόσεξα: πώς είναι πλήρης όταν στηρίζεται σε αξιώματα με τελείως φανταστικές οντότητες, πχ σημείο ευθεία, επίπεδο που δεν έχουν την παραμικρή υπόσταση, παρά μόνο προσεγγιστική. Στον κόσμο μας τα πάντα είναι τριδιάστατα όσο μικρή και να είναι η μία τουλάχιστον διάσταση.

Με την χεγκελιανή διαλεκτική δεν ξέρω τι εννοείς, ίσως το ότι μπορείς ξεκινώντας από ένα μη πλήρες σύστημα να φτιάξεις ένα άλλο πληρέστερο με σύνθεση; Ε, ναι, όμως και αυτό θα εμφανίσει μη πληρότητα κάπου αλλού, κοκ, δεν νομίζω να έχει τέλος η διαδικασία, ειδικά σε εφαρμογή στα κοινωνικά φαινόμενα.

[UmbilicalResidue]

Η Ευκλείδια Γεωμετρία είναι πλήρης, παραδείγματος χάριν

οφφ τοπικ αλλά τώρεα το πρόσεξα: πώς είναι πλήρης όταν στηρίζεται σε αξιώματα με τελείως φανταστικές οντότητες, πχ σημείο ευθεία, επίπεδο που δεν έχουν την παραμικρή υπόσταση, παρά μόνο προσεγγιστική. Στον κόσμο μας τα πάντα είναι τριδιάστατα όσο μικρή και να είναι η μία τουλάχιστον διάσταση.

δλδ τι πιο πλήρες έχεις στο μυαλό σου οτι μπορεί να 8εσπίσει κάποιος απο ένα αξιωματικό σύστημα τέτοιου τύπου;

[Phoebus]

Η Ευκλείδια Γεωμετρία είναι πλήρης, παραδείγματος χάριν

οφφ τοπικ αλλά τώρεα το πρόσεξα: πώς είναι πλήρης όταν στηρίζεται σε αξιώματα με τελείως φανταστικές οντότητες, πχ σημείο ευθεία, επίπεδο που δεν έχουν την παραμικρή υπόσταση, παρά μόνο προσεγγιστική. Στον κόσμο μας τα πάντα είναι τριδιάστατα όσο μικρή και να είναι η μία τουλάχιστον διάσταση.

Με την χεγκελιανή διαλεκτική δεν ξέρω τι εννοείς, ίσως το ότι μπορείς ξεκινώντας από ένα μη πλήρες σύστημα να φτιάξεις ένα άλλο πληρέστερο με σύνθεση; Ε, ναι, όμως και αυτό θα εμφανίσει μη πληρότητα κάπου αλλού, κοκ, δεν νομίζω να έχει τέλος η διαδικασία, ειδικά σε εφαρμογή στα κοινωνικά φαινόμενα.

Είναι _ΕΥΚΛΕΙΔΙΑ_ που σημαίνει ότι στα συστήματα που αναφέρεται είναι πλήρης. Δεν είναι εργαλείο απόδειξης η Ευκλείδια Γεωμετρία για πράγματα που συμβαίνουν στον πραγματικό κόσμο. Και σταμάτα επιτέλους τα off topic.

[Deggial]

Η Ευκλείδια Γεωμετρία είναι πλήρης, παραδείγματος χάριν

οφφ τοπικ αλλά τώρεα το πρόσεξα: πώς είναι πλήρης όταν στηρίζεται σε αξιώματα με τελείως φανταστικές οντότητες, πχ σημείο ευθεία, επίπεδο που δεν έχουν την παραμικρή υπόσταση, παρά μόνο προσεγγιστική. Στον κόσμο μας τα πάντα είναι τριδιάστατα όσο μικρή και να είναι η μία τουλάχιστον διάσταση.

Όσα λες είναι άσχετα με την έννοια της πληρότητας, με την έννοια που έχει στη μαθηματική λογική (καθώς άλλη η έννοια της πληρότητας στην στατιστική, άλλη στα μετρικά συστήματα, κοκ) και στο θεώρημα μη πληρότητας του Goedel. Προφανώς έχεις κάποια σύγχηση πάνω στην έννοια της πληρότητας.

Η πληρότητα στην μαθηματική λογική ορίζεται ως εξής:
Ένα λογικό σύστημα καλείται πλήρες αν, και μόνον αν, για κάθε πρόταση Q μέσα στο S αποδεικνύεται η πρόταση Q ή η άρνηση της. Δηλαδή, δεν υπάρχει πρόταση Q που να μην υπάρχει απόδειξη, είτε για την ισχύ της, είτε για την ισχύ της άρνησης της.

Για να ξεφύγουμε απ'την αυστηρή μαθηματική περιγραφή, με την ελπίδα πως θα γίνει πιο κατανοητό, ένα αξιωματικό σύστημα είναι πλήρες όταν δε χρειάζεται κάποιο αξιωματικό υπερσύνολο για να αποδείξουμε την ισχύ της οποιασδήποτε πρότασης.

Μπορείς να δεις ένα αξιωματικό σύστημα ως έναν μικρόκοσμο, όπου διέπεται από κάποιες αρχές (αξιώματα) και κάθε αντικείμενο (πρόταση) στον μικρόκοσμο μπορεί να "εξηγηθεί" (να αποδειχθεί η ισχύς ή η μη ισχύς) από τις αρχές αυτές. Δε χρειάζεται στοιχεία που δεν ανήκουν στον μικρόκοσμο του.

Έτσι και για την Ευκλείδια Γεωμετρία, δε χρειάζόμαστε παρά τα αξιώματα της για να αποδείξουμε οτιδήποτε το οποίο ανήκει στον "μικρόκοσμο" της.

Quot-άρω από παλαιότερο ποστ μου περί του θεωρήματος μη πληρότητας for dummies:
--------------------

Θα προσπαθήσω να είμαι όσο αναλυτικός γίνεται, επειδή όμως είναι αδύνατο να περιγράψω τη λογική πρώτης τάξης (first-order logic) σε λίγες γραμμές, θα θεωρήσω τη γνώση της δεδομένη. Υπάρχει πλούσια και εύκολα προσβάσιμη βιβλιογραφία, όμως. Επίσης, θα προσδιορίζω στην αρχή της πρότασης πότε δίνω αυστηρώς μαθηματικούς ορισμούς και πότε δίνω κάτι πιο γενικευμένο που μπορεί ένας μη μαθηματικός ή μη πληροφορικάριος να κατανοήσει.

Η φυσική γλώσσα, η ανθρώπινη σκέψη, η μεθοδολογία της επιστήμης και οι επιστημονικοί κλάδοι δεν έχουν το φορμαλισμό της λογικής πρώτης τάξης. Υπενθυμίζω πως στη λογική πρώτης τάξης δεν υπάρχουν βαθμίδες αληθείας, μια πρόταση ισχύει ή δεν ισχύει (ή δεν ορίζεται), δεν υπάρχει "λίγο" και "πολύ" ή εξαιρέσεις. Αυτός είναι και ο λόγος πως στη μαθηματική λογική υπάρχουν πολλές ακόμη επεκτάσεις που ξεφεύγουν απ'τη λογική πρώτης τάξης (π.χ. constraint logic).

Παρακάτω, όπου αναφέρεται ο όρος "λογικό σύστημα", εννοείται αυστηρώς ένα σύστημα που ακολουθεί τη λογική πρώτης τάξης και τέτοια συστήματα αποτελούν υποσύνολο των αξιωματικών συστημάτων.

(Γενίκευση) Ένα λογικό σύστημα ορίζει ένα σύνολο αξιωμάτων, ένα σύνολο λογικών κανόνων για την απόδειξη προτάσεων από τα αξιώματα, καθώς και το συντακτικό στο οποίο μπορούν να διατυπωθούν οι προτάσεις. Όταν αποδεικνύουμε μια πρόταση, διατυπωμένη στο συντακτικό του συστήματος και με βάση τους κανόνες του, τότε λέμε πως την αποδικνύουμε "στο σύστημα S".

Λέμε πως μια πρόταση Q ανήκει στο σύστημα S όταν είναι διατυπωμένη στο συντακτικό του συστήματος S και βασίζεται στους κανόνες του S. Η έκφραση "η Q μέσα στο S" σημαίνει πως η πρόταση Q ανήκει στο σύστημα S.

Ένα λογικό σύστημα καλείται συνεπές αν, και μόνον αν, δεν υπάρχει πρόταση Q μέσα στο S ώστε να είναι αποδείξιμες ταυτόχρονα η πρόταση Q και η άρνηση της. Δηλαδή, δε μπορεί ταυτόχρονα να ισχύει η πρόταση Q και η άρνηση της, μόνο η μια εκ των δύο (ή καμία εκ των δύο).

Ένα λογικό σύστημα καλείται πλήρες αν, και μόνον αν, για κάθε πρόταση Q μέσα στο S αποδεικνύεται η πρόταση Q ή η άρνηση της. Δηλαδή, δεν υπάρχει πρόταση Q που να μην υπάρχει απόδειξη, είτε για την ισχύ της, είτε για την ισχύ της άρνησης της.

Εδώ ας αναφέρουμε πως ο ορισμός της πληρότητας έξω απ'το πεδίο της μαθηματικής λογικής διαφέρει. Στα μετρικά συστήματα, η έννοια της πληρότητας είναι εντελώς διαφορετική. Ως εκ τούτου, δε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον παραπάνω ορισμό της πληρότητας παρά μόνο στη μαθηματική λογική.

Να τονίσω τη σημασία του "μέσα στο S". Έστω ένα λογικό σύστημα S που περιγράφει την Ευκλείδιο Γεωμετρία κι έστω η πρόταση "τα πουλιά έχουν φτερά". Είναι προφανές πως δε μπορούμε να αποδείξουμε την πρόταση, ούτε την άρνηση της ("τα πουλιά δεν έχουν φτερά"). Ωστόσο, αυτό δε μας λέει απολύτως τίποτε για τη πληρότητα του S, καθώς η πρόταση "τα πουλιά έχουν φτερά" δεν ανήκει στο S, δεν υπάρχει η οντότητα "πουλιά" στην Ευκλείδιο Γεωμετρία.

Το θεώρημα του Goedel:
1. Για κάθε συνεπές λογικό σύστημα S λογικής πρώτης τάξης στο οποίο ορίζεται το σύνολο των φυσικών αριθμών, μπορεί να κατασκευαστεί πρόταση Q που ανήκει στο S, τέτοια ώστε να μη μπορεί να αποδειχθεί ούτε η Q ούτε η άρνηση της.
2. Κανένα συνεπές λογικό σύστημα δε μπορεί να αποδείξει τη συνέπεια του.

Πόρισμα:
Ένα λογικό σύστημα στο οποίο ορίζεται το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι είτε μη συνεπές είτε μη πλήρες.

Η απόδειξη του θεωρήματος είναι πολύπλοκη και ξεφεύγει απ'τις ανάγκες του thread. Αρκεί να αναφέρουμε πως η απόδειξη απαιτεί αυστηρώς (οπως αναφέρει και η εκφώνηση):
α) στο λογικό σύστημα να ορίζεται το σύνολο των φυσικών αριθμών. Π.χ. σε λογική πρώτης τάξης:
true -> s(0)
s(x) -> s(s(x))
β) αναφερόμαστε σε συστήματα μαθηματικής λογικής, διαφορετικώς ο ορισμός της πληρότητας διαφέρει.

Από τα παραπάνω, μπορούμε να συμπεράνουμε τα εξής, μεταξύ άλλων:
α) Το θεώρημα του Goedel δε προσφέρει καμία πληροφορία για λογικά συστήματα στα οποία δεν ορίζεται το σύνολο των φυσικών αριθμών (π.χ. ένα λογικό σύστημα που περιγράφει την Ευκλείδιο Γεωμετρία με τους κανόνες λογικής πρώτης τάξης)

β) Το θεώρημα του Goedel δε προσφέρει καμία χρήσιμη πληροφορία για μη συνεπή λογικά συστήματα, τα οποία και μπορούν να είναι πλήρη κατά τον ορισμό.

γ) Το θεώρημα του Goedel δεν έχει καμία ισχύ πέρα απ'τη μαθηματική λογική, διότι δεν έχει ισχύ ο παραπάνω ορισμός της πληρότητας. Παραδείγματα: το σύστημα των πραγματικών αριθμών είναι πλήρες. Το αξιωματικό σύστημα της Ευκλείδιας Γεωμετρίας μπορεί να γραφεί κατάλληλα ώστε να είναι πλήρες. Τα στατιστικά συστήματα έχουν εντελώς διαφορετικό κριτήριο πληρότητας.

Εν κατακλείδι, είναι τρομερά συνηθισμένη η παρεξήγηση πως το θεώρημα του Goedel έχει γενική ισχύ, κυρίως από ανθρώπους που δεν έχουν γνώση της μαθηματικής λογικής (π.χ. μη μαθηματικοί ή μη πληροφορικάριοι).

[Deggial]

Να προσθέσω πως η πιο γνωστή, φαντάζομαι, για τους περισσότερους από εσάς διαφορετική έννοια της πληρότητας, είναι το αξίωμα πληρότητας του συνόλου των πραγματικών αριθμών:
Για κάθε μη κενό και άνω φραγμένο υποσύνολο Α των πραγματικών, υπάρχει χ πραγματικός όπου χ το supremum του Α.

[Starbreaker]

To kourasate.

[UmbilicalResidue]

To kourasate.

μα πόσο μόγλης είσαι να πετάς αυτό μετα απο ένα πολύ ενδιαφέρον ποστ.

Ε;

[Atheist]

...

"Μόγλης"?

[UmbilicalResidue]

[FIXXXER]

To kourasate.

μα πόσο μόγλης είσαι να πετάς αυτό μετα απο ένα πολύ ενδιαφέρον ποστ.

Ε;

Endiaferon gia sena, gia auton den einai, pou kollises? Tha tou upodeixeis kai sumperifora? Fasistaki malakistiri.

[Starbreaker]

Twra arxizei na apoktaei endiaferon.

[Candiru]

Ευχαριστώ ειλικρινά για τον κόπο σου και κατανοώ εν μέρει την έντονη ένστασή σου, όμως οσο και αν ενίστανται παρόμοια ένας φυσικός όταν μιλάνε σε άλλα πεδία για την αρχή της αβεβαιότητας ή της σχετικότητας, κλπ, αυτό δεν σημαίνει ότι χρησιμοποιούν ακριβώς την αυστηρή διατύπωσή τους στις συγκεκριμένες συνθήκες που παρατηρήθηκαν, απλώς διαβλέπουν πως αυτός ο τρόπος σκέψης και παρατήρησης έχει ευρύτερες συνέπειες και σε πολλούς άλλους τομείς του επιστητού, ή ακόμα καλύτερα, αποτελούν επιμέρους παρατηρήσεις μιας ευρύτερης αδυναμίας αξίωσης απόλυτης αλήθειας μέσα στο δυτικό σύστημα σκέψης. Αλλωστε δεν είναι και τόσο δύσκολο να φανταστείς, ή και να στήσεις ως προτάσεις, έστω και ως παραλλαγή του θεωρήματος Goedel, τα φαινομενικά αδιέξοδα των ορισμών της δημοκρατίας που αναφέρθηκαν πολύ πιο πριν

Για την ευκλείδια γεωμετρία τίθεται το ερώτημα, εφόσον τα στοιχεία της ορίζονται με τουλάχιστον μία μηδενική διάσταση (=ανύπαρκτα) πώς αναπαριστώνται, πώς γίνονται ορατά, γιατί, όποτε αναπαριστώνται, με κανόνα και διαβήτη, πάντα έχουν τρεις διαστάσεις, όσο μικρή και να είναι τουλάχιστον η μία. Αυτό όμως το σόφισμα δεν αναιρεί όλη την υπόλοιπη εσωτερική συνέπειά της. Αυτό δεν έχει τουλάχιστον κάποια συνάφεια με το θεώρημα του Goedel; Δεν θυμίζει λίγο το σκεπτικό του στο τελικό αδιεξοδο;

Ετσι, σε τελική ανάλυση, κάθε σύστημα είναι πλήρες για τις ανάγκες για τις οποίες κατασκευάστηκε, άσχετα αν σε οριακές ή αυτοαναφερόμενες καταστάσεις είναι ασυνεπές ή μη πλήρες. Συνεπώς, για να κάνω και λίγο σχετικό χιούμορ, (πάλι με κουρέα), στην πρόταση «Ο κουρέας κουρεύει όσους δεν μπορούν να κουρευτούν μόνοι τους», δεν θα πνιγεί στην μαλλούρα ο ίδιος ο κουρέας μέχρι να αποφασίσει ποιός θα τον κουρέψει.

Οπότε στα @@ μου αν με το σόφισμα για τους νεοναζί, η δημοκρατία παρουσιάζεται μη πλήρης, ή ασυνεπής, όπως θέλεις πάρτο, το κάνει για να μπορέσει να επιβιώσει (για να έρθουμε πάλι on topic,)

[Deggial]

Για την ευκλείδια γεωμετρία τίθεται το ερώτημα, εφόσον τα στοιχεία της ορίζονται με τουλάχιστον μία μηδενική διάσταση (=ανύπαρκτα) πώς αναπαριστώνται, πώς γίνονται ορατά, γιατί, όποτε αναπαριστώνται, με κανόνα και διαβήτη, πάντα έχουν τρεις διαστάσεις, όσο μικρή και να είναι τουλάχιστον η μία. Αυτό όμως το σόφισμα δεν αναιρεί όλη την υπόλοιπη εσωτερική συνέπειά της. Αυτό δεν έχει τουλάχιστον κάποια συνάφεια με το θεώρημα του Goedel; Δεν θυμίζει λίγο το σκεπτικό του στο τελικό αδιεξοδο;

Όχι. Η Ευκλείδια Γεωμετρία είναι πλήρης (και συνεπής, παρεπιπτόντως, δηλ. δεν ισχύει το θεώρημα μη πληρότητας του Goedel για την Ευκλ. Γεωμετρία). Όποια πρόταση κι αν σκεφτείς στην Ευκλείδια Γεωμετρία, μπορεί να αποδειχθεί η ισχύς ή η μη ισχύς της. Να μην έχει λύση είναι αδύνατο, αν δε μπορεί κάποιος να το λύσει είναι καθαρά από δικό του σφάλμα. Αυτή είναι η έννοια της πληρότητας στη μαθηματική λογική. Για τον φυσικό κόσμο, κάνε ό,τι θες. Αλλά όταν αναφερόμαστε στην Ευκλείδια Γεωμετρία, μιλάμε για την επιστήμη των μαθηματικών, και εκεί τα πράγματα είναι ξεκάθαρα.

Τέλος, θυμίζω πως το θεώρημα δε λέει πως δεν υπάρχουν πλήρη συστήματα. Λέει πως ένα συνεπές λογικό σύστημα δε μπορεί να είναι και πλήρες. Οπότε, υπάρχουν πλήρη συστήματα γραμμένα σε λογική πρώτης τάξης που είναι πλήρη (απλά δεν είναι συνεπή). Επίσης, η ισχύς του περιορίζεται στη λογική πρώτης τάξης (όπως φαίνεται στο παράδειγμα της Ευκλ. Γεωμετρίας). Ως εκ τούτου, φιλοσοφικές γενικεύσεις που λαμβάνουν υπόψη μόνο τη πληρότητα κι όχι τη συνέπεια είναι ατυχείς.

[UmbilicalResidue]

To kourasate.

μα πόσο μόγλης είσαι να πετάς αυτό μετα απο ένα πολύ ενδιαφέρον ποστ.

Ε;

Endiaferon gia sena, gia auton den einai, pou kollises? Tha tou upodeixeis kai sumperifora? Fasistaki malakistiri.

Νομίζω οτι με παρεξήγησες φίλε χρήστη φίξξξερ... Εγώ μια ερώτηση απήυ8ηνα η οποία κάλλιστα 8α μπορουσε να απαντη8ει με κάτι σχετικό του: "δεν έιμαι κα8όλου μόγλης! είμαι ο στάρμπρεηκερ!", ακόμα: "είμαι λίγο μόγλης αλλα αυτό δεν έχει να κάνει με το οτι έιμαι αναλφάβητος!" ακόμα, ακόμα: "τρέχω εγκεφαλικό-8ερμοστάτη-σκρίπτ στις πάνω απο πέντε γραμμες πετάει μπλέ ο8όνη". Ας μην βγάζουμε βιαστικά συμπεράσματα και να χαλάμε τσάμπα αυτό το όμορφο που φτιάχνουμε εδώ, ε;